№5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из этих чисел на 34 больше произведения первого и второго.

Решение:

Пусть первое натуральное число равно \( n \).

Тогда четыре последовательных натуральных числа будут:

\( n \), \( n+1 \), \( n+2 \), \( n+3 \).

По условию задачи:

Произведение третьего и четвёртого чисел на 34 больше произведения первого и второго.

Запишем это в виде уравнения:

\( (n+2)(n+3) = n(n+1) + 34 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 + 3n + 2n + 6 = n^2 + n + 34 \)

\( n^2 + 5n + 6 = n^2 + n + 34 \)

Сократим \( n^2 \) с обеих сторон:

\( 5n + 6 = n + 34 \)

Перенесём члены с \( n \) в одну сторону, а числа — в другую:

\( 5n - n = 34 - 6 \)

\( 4n = 28 \)

\( n = \frac{28}{4} \)

\( n = 7 \)

Таким образом, первое число равно 7. Четыре последовательных числа:

7, 8, 9, 10.

Проверим условие:

Произведение третьего и четвёртого: \( 9 \cdot 10 = 90 \)

Произведение первого и второго: \( 7 \cdot 8 = 56 \)

Разность: \( 90 - 56 = 34 \). Условие выполняется.

Ответ: 7, 8, 9, 10.