5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и четвёртого из этих чисел на 31 больше произведения первого и третьего.

Решение:

Пусть четыре последовательных натуральных числа будут \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \), \( n+3 \), где \( n \) — натуральное число (\( n \ge 1 \)).

По условию задачи:

Произведение второго и четвёртого чисел: \( (n+1)(n+3) \).

Произведение первого и третьего чисел: \( n(n+2) \).

Произведение второго и четвёртого на 31 больше произведения первого и третьего:

\( (n+1)(n+3) = n(n+2) + 31 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 + 3n + n + 3 = n^2 + 2n + 31 \)

\( n^2 + 4n + 3 = n^2 + 2n + 31 \)

Вычтем \( n^2 \) из обеих частей уравнения:

\( 4n + 3 = 2n + 31 \)

Перенесём слагаемые с \( n \) в левую часть, а числа — в правую:

\( 4n - 2n = 31 - 3 \)

\( 2n = 28 \)

\( n = \frac{28}{2} \)

\( n = 14 \)

Теперь найдём остальные три числа:

Второе число: \( n+1 = 14+1 = 15 \).

Третье число: \( n+2 = 14+2 = 16 \).

Четвёртое число: \( n+3 = 14+3 = 17 \).

Проверим условие: \( 15 \cdot 17 = 255 \); \( 14 \cdot 16 = 224 \). \( 255 - 224 = 31 \). Условие выполняется.

Ответ: 14, 15, 16, 17.