6. Решите уравнение x² + y² - 8x + 12y + 52 = 0.

Решение:

Дано уравнение: \( x^2 + y^2 - 8x + 12y + 52 = 0 \).

Сгруппируем слагаемые, содержащие \( x \) и \( y \), и выделим полные квадраты:

\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 12y) + 52 = 0 \)

Чтобы выделить полный квадрат для \( x \), добавим и вычтем \( (\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16 \).

Чтобы выделить полный квадрат для \( y \), добавим и вычтем \( (\frac{12}{2})^2 = 6^2 = 36 \).

\( (x^2 - 8x + 16 - 16) + (y^2 + 12y + 36 - 36) + 52 = 0 \)

Перегруппируем члены:

\( (x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 52 = 0 \)

Запишем полные квадраты:

\( (x - 4)^2 - 16 + (y + 6)^2 - 36 + 52 = 0 \)

Сложим постоянные числа:

\( (x - 4)^2 + (y + 6)^2 - 16 - 36 + 52 = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 6)^2 - 52 + 52 = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 0 \)

Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю.

Следовательно:

\( x - 4 = 0 \) => \( x = 4 \)

\( y + 6 = 0 \) => \( y = -6 \)

Ответ: x = 4, y = -6.