5. Найдите корни уравнения: √x + 20 = -х.

Решение:

Уравнение: \( \sqrt{x+20} = -x \).

1. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \(x\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x+20 \ge 0 \) → \( x \ge -20 \).

2. Также, поскольку левая часть уравнения \( \sqrt{x+20} \) неотрицательна, правая часть \( -x \) также должна быть неотрицательной: \( -x \ge 0 \) → \( x \le 0 \).

Объединяя условия \( x \ge -20 \) и \( x \le 0 \), получаем ОДЗ: \( -20 \le x \le 0 \).

3. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\( (\sqrt{x+20})^2 = (-x)^2 \)

\( x+20 = x^2 \)

4. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - x - 20 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение, например, через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

6. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ (\( -20 \le x \le 0 \)):

• \( x_1 = 5 \) не входит в ОДЗ (\( 5 > 0 \)).
• \( x_2 = -4 \) входит в ОДЗ (\( -20 \le -4 \le 0 \)).

Таким образом, единственным корнем является \( x = -4 \).

Ответ: -4