6. Решите уравнение: √x + 4 = x + 2.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{x+4} = x+2 \).

1. ОДЗ: \( x+4 \ge 0 \) → \( x \ge -4 \).
2. Также, правая часть \( x+2 \) должна быть неотрицательной: \( x+2 \ge 0 \) → \( x \ge -2 \).
3. Объединив условия, получаем ОДЗ: \( x \ge -2 \).
4. Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x+4})^2 = (x+2)^2 \)

\( x+4 = x^2 + 4x + 4 \)

\( x^2 + 4x + 4 - x - 4 = 0 \)

\( x^2 + 3x = 0 \)

\( x(x+3) = 0 \)

Получаем два возможных корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \).

Проверим корни на соответствие ОДЗ (\( x \ge -2 \)):

• \( x_1 = 0 \) удовлетворяет условию \( 0 \ge -2 \).
• \( x_2 = -3 \) не удовлетворяет условию \( -3 < -2 \).

Следовательно, \( x = -3 \) является посторонним корнем. Единственный корень уравнения — \( x=0 \).

Ответ: 0