5. Найдите множество значений выражения $(-1)^0+(-1)^{2n+2}-(-1)^{n-1}-(-1)^{n+1}$ при $n\in\mathbb{N}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Найдите множество значений выражения $(-1)^0+(-1)^{2n+2}-(-1)^{n-1}-(-1)^{n+1}$ при $n\in\mathbb{N}$.$ Фото задания

5. Найдите множество значений выражения $(-1)^0+(-1)^{2n+2}-(-1)^{n-1}-(-1)^{n+1}$ при $n\in\mathbb{N}$.

Accepted Answer

Первые две степени равны 1, поскольку показатели $0$ и $2n+2$ чётные. Кроме того, показатели $n-1$ и $n+1$ имеют одинаковую чётность, поэтому $(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}$.

Следовательно, два последних слагаемых взаимно уничтожаются:

$(-1)^0+(-1)^{2n+2}-(-1)^{n-1}-(-1)^{n+1}=1+1-(-1)^{n-1}-(-1)^{n-1}=2-2(-1)^{n-1}.$

Если $n$ нечётно, выражение равно 0; если $n$ чётно, оно равно 4. Оба случая возможны при натуральном $n$.

Ответ: $\{0,4\}$.

5. Найдите множество значений выражения \((-1)^0+(-1)^{2n+2}-(-1)^{n-1}-(-1)^{n+1}\) при \(n\in\mathbb{N}\).

Ответ: