5. Найдите первообразную функции: f(x) = 7x^6 + 8x³ - 6x + 9.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 7x^6 + 8x^3 - 6x + 9 \), используем правило интегрирования степенной функции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

Первообразная \( F(x) \) будет равна:

\[ F(x) = \int (7x^6 + 8x^3 - 6x + 9) dx \]

\[ F(x) = 7 \int x^6 dx + 8 \int x^3 dx - 6 \int x dx + 9 \int dx \]

\[ F(x) = 7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} + 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 9x + C \]

\[ F(x) = 7 \cdot \frac{x^7}{7} + 8 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C \]

\[ F(x) = x^7 + 2x^4 - 3x^2 + 9x + C \]

Ответ: \( x^7 + 2x^4 - 3x^2 + 9x + C \).