6. Вычислите определенный интеграл: ∫^2_1 8x³ dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_1^2 8x^3 dx \) сначала найдём первообразную функции \( 8x^3 \).

Первообразная \( F(x) = \int 8x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 8 \cdot \frac{x^4}{4} + C = 2x^4 + C \).

Теперь вычислим значение интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_1^2 8x^3 dx = [2x^4]_1^2 \]

\[ = (2 \cdot 2^4) - (2 \cdot 1^4) \]

\[ = (2 \cdot 16) - (2 \cdot 1) \]

\[ = 32 - 2 \]

\[ = 30 \]

Ответ: 30.