5. Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями, равными 16 см и 30 см.

Решение:

Площадь круга находится по формуле \( S = \pi r^2 \), где \( r \) — радиус круга. В данном случае радиус вписанного круга равен высоте ромба, деленной пополам. Высота ромба равна диаметру вписанного круга.

1. Находим площадь ромба:
   Площадь ромба через диагонали: \( S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \)
   \( S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \> см².
2. Находим сторону ромба:
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны \( \frac{16}{2} = 8 \) см и \( \frac{30}{2} = 15 \) см. Сторона ромба (b) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 15 см.
   \( b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \)
   \( b = \sqrt{289} = 17 \> см.
3. Находим высоту ромба (и диаметр вписанного круга):
   Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: \( S_{ромба} = b \cdot h \)
   \( 240 = 17 \cdot h \)
   \( h = \frac{240}{17} \> см.
4. Находим радиус вписанного круга:
   Радиус \( r = \frac{h}{2} = \frac{240/17}{2} = \frac{240}{34} = \frac{120}{17} \> см.
5. Находим площадь круга:
   \( S_{круга} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{120}{17}\right)^2 = \pi \frac{14400}{289} \> см².

Ответ: \( \frac{14400}{289}\pi \) см².