5. Найдите точки пересечения окружности x² + y² = 1 с прямой y = x + 1.

Решение:

Для нахождения точек пересечения окружности и прямой, решим систему уравнений:

1. \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = x + 1 \end{cases} \]
2. Подставим второе уравнение в первое:
3. \[ x^2 + (x+1)^2 = 1 \]
4. Раскроем скобки:
5. \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 1 \]
6. \[ 2x^2 + 2x + 1 = 1 \]
7. \[ 2x^2 + 2x = 0 \]
8. Вынесем общий множитель 2x:
9. \[ 2x(x + 1) = 0 \]
10. Отсюда получаем два возможных значения для x:
11. \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
12. Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в уравнение прямой y = x + 1:
13. Если x = 0, то y = 0 + 1 = 1. Получаем точку (0; 1).
14. Если x = -1, то y = -1 + 1 = 0. Получаем точку (-1; 0).

Ответ: (0; 1) и (-1; 0)