№5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых неравенство \(-x^2+(5a-3)x-6a^2+5a\le 0\) выполняется при всех значениях \(x\).

Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), поэтому парабола направлена ветвями вниз. Чтобы выражение было неположительным при всех \(x\), его дискриминант должен быть не больше нуля.

\(D=(5a-3)^2-4(-1)(-6a^2+5a)=a^2-10a+9=(a-1)(a-9)\).

Требуем: \((a-1)(a-9)\le 0\). Отсюда \(1\le a\le 9\). При границах интервала выражение имеет двойной корень и остаётся неположительным.

Ответ: \(a\in[1;9]\).