5. Найдите все значения параметра k, при которых сумма корней уравнения (k−1)x²−(k+5)x+12=0 на 8 меньше произведения корней уравнения (3−k)x²−(2k+4)x+k+13=0.

Для обоих уравнений используем теорему Виета. Необходимо, чтобы \(k\ne1\) и \(k\ne3\), иначе соответствующее уравнение не является квадратным.

Сумма корней первого уравнения: \(S_1=\frac{k+5}{k-1}\). Произведение корней второго: \(P_2=\frac{k+13}{3-k}\).

По условию \(S_1\) на 8 меньше \(P_2\), значит, \(P_2-S_1=8\):

\(\frac{k+13}{3-k}-\frac{k+5}{k-1}=8\).

После умножения на \((3-k)(k-1)\) получаем \(5k^2-9k-2=0\), откуда \(k=2\) или \(k=-\frac15\).

Проверим, что уравнения имеют действительные корни. При \(k=2\) дискриминанты первого и второго уравнений равны соответственно 1 и 4, поэтому оба уравнения имеют действительные корни. При \(k=-\frac15\) дискриминант второго уравнения отрицателен: \(D_2=12{,}96-163{,}84<0\), поэтому действительных корней у него нет.

Ответ: \(k=2\). Если в задаче корни допускаются комплексные, условие Виета также выполняется при \(k=-\frac15\).