5. Найдите значение выражения при всех допустимых значениях переменных: \(\frac{2a-b}{3a-b}-\frac{a-2b}{3a+b}+\frac{6ab-24a^2}{b^2-9a^2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Допустимые значения удовлетворяют условиям \(3a-b\ne0\) и \(3a+b\ne0\), поскольку \(b^2-9a^2=(b-3a)(b+3a)\).

Приведём дроби к знаменателю \((3a-b)(3a+b)\). В третьей дроби знаменатель равен \(-(3a-b)(3a+b)\):

\[\frac{(2a-b)(3a+b)-(a-2b)(3a-b)-6a(b-4a)}{(3a-b)(3a+b)}.\]

Раскрываем скобки в числителе:

\[(6a^2-ab-b^2)-(3a^2-7ab+2b^2)-6ab+24a^2=27a^2-3b^2.\]

Следовательно, выражение равно \(\frac{3(9a^2-b^2)}{(3a-b)(3a+b)}\). Так как \(9a^2-b^2=(3a-b)(3a+b)\), дробь сокращается.

Ответ: \(3\).