5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,4.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Количество испытаний \( n = 300 \), вероятность события \( p = 0.4 \). Требуется найти вероятность того, что событие наступит ровно \( k = 104 \) раза.

Формула Бернулли: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6 \).

\( P(X=104) = C_{300}^{104} \cdot (0.4)^{104} \cdot (0.6)^{300-104} = C_{300}^{104} \cdot (0.4)^{104} \cdot (0.6)^{196} \).

Вычисление \( C_{300}^{104} \) и таких степеней вручную практически невозможно. Для таких больших чисел используют приближение нормальным распределением.

Математическое ожидание \( \mu = n \cdot p = 300 \cdot 0.4 = 120 \).

Дисперсия \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 300 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 72 \).

Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{72} \approx 8.485 \).

Так как \( k=104 \) находится достаточно далеко от среднего \( \mu=120 \), вероятность будет мала.

Используем приближение нормальным распределением с поправкой на непрерывность (хотя для точного значения вероятности конкретного исхода это приближение может быть не очень точным, но оно дает представление о порядке величины).

\( P(X=104) \approx \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(104-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)

\( P(X=104) \approx \frac{1}{8.485 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(104-120)^2}{2 \cdot 72}} = \frac{1}{8.485 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(-16)^2}{144}} = \frac{1}{8.485 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{256}{144}} \approx \frac{1}{21.28} e^{-1.778} \approx 0.04699 \cdot 0.169 \approx 0.0079 \).

Ответ: Вероятность выражается формулой \( C_{300}^{104} \cdot (0.4)^{104} \cdot (0.6)^{196} \). Приближенно, с использованием нормального распределения, вероятность составляет около 0.0079.