5. Не вычисляя точки пересечения, определите, пересекаются ли парабола \(y=\frac13x^2\) и прямая \(y=6x-15\). Если точки пересечения существуют, найдите их координаты.

Приравняем выражения для ординаты: \(\frac13x^2=6x-15\). Умножая на 3, получаем \(x^2-18x+45=0\).

Дискриминант равен \(D=(-18)^2-4\cdot45=144>0\), следовательно, имеются две точки пересечения.

Корни уравнения: \(x=3\) и \(x=15\). Подставим их в уравнение прямой: при \(x=3\), \(y=3\); при \(x=15\), \(y=75\).

Ответ: пересекаются в точках \((3; 3)\) и \((15; 75)\).