5. Основание призмы \(ABCA_1B_1C_1\) — правильный треугольник со стороной \(a\). Вершина \(A_1\) равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите объём призмы, если угол между боковым ребром призмы и плоскостью её основания равен \(\alpha\).

Пусть \(O\) — проекция точки \(A_1\) на плоскость основания. Так как \(A_1\) равноудалена от \(A\), \(B\) и \(C\), точка \(O\) равноудалена от этих вершин и является центром описанной окружности равностороннего треугольника.

Радиус этой окружности равен \(AO=a/\sqrt{3}\). Проекция бокового ребра \(AA_1\) на плоскость основания равна \(AO\), поэтому высота призмы \(h=AO\tan\alpha=\frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha\).

Площадь основания равна \(S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). Тогда \(V=Sh=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha=\frac{a^3}{4}\tan\alpha\).

Ответ: \(V=\frac{a^3}{4}\tan\alpha\).