5. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 14, DC = 56, AC = 40 .

Решение:

1. Дано:
   • AB || DC.
   • AC и BD пересекаются в точке M.
   • AB = 14.
   • DC = 56.
   • AC = 40.
2. Найти: MC.
3. Подобные треугольники: Рассмотрим треугольники ABM и CDM.
   • Угол AMB = Угол CMD (вертикальные углы).
   • Угол MAB = Угол MCD (накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).
   • Угол MBA = Угол MDC (накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей BD).
   Следовательно, треугольник ABM подобен треугольнику CDM по трем углам.
4. Отношение сторон: Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно:
• \[ \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} \]
5. Подставляем известные значения:
• \[ \frac{14}{56} = \frac{AM}{MC} \]
6. Упрощаем дробь:
• \[ \frac{1}{4} = \frac{AM}{MC} \]
7. Выражаем AM через MC:
• \[ AM = \frac{1}{4} MC \]
8. Используем известное значение AC: AC = AM + MC.
9. Подставляем выражение для AM:
• \[ 40 = \frac{1}{4} MC + MC \]
10. Решаем уравнение относительно MC:
• \[ 40 = MC \left( \frac{1}{4} + 1 \right) \]
• \[ 40 = MC \left( \frac{1}{4} + \frac{4}{4} \right) \]
• \[ 40 = MC \left( \frac{5}{4} \right) \]
• \[ MC = 40 imes \frac{4}{5} \]
• \[ MC = 8 imes 4 \]
• \[ MC = 32 \]

Ответ: 32