5. Отрезок ВМ — медиана равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС). На стороне АВ отметили точку К такую, что КМ || ВС. Докажите, что ВК = KM.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AB = BC \)), \( BM \) — медиана. \( K \) — точка на \( AB \) такая, что \( KM \parallel BC \).

Доказать: \( BK = KM \).

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и \( AB = BC \), то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. \( BM \) — медиана, значит, \( M \) — середина \( AC \), то есть \( AM = MC \).
3. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \).
4. \( AB = CB \) (по условию).
5. \( AM = CM \) (по свойству медианы).
6. \( BM \) — общая сторона.
7. Следовательно, \( \triangle ABM = \triangle CBM \) по трём сторонам (ССС).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle ABM = \angle CBM \) и \( \angle BAM = \angle BCM \).
9. Так как \( \angle ABM = \angle CBM \), то \( BM \) — биссектриса \( \angle ABC \).
10. По условию \( KM ∥ BC \).
11. Так как \( KM ∥ BC \) и \( BM \) — секущая, то \( \angle KMB = \angle CBM \) как накрест лежащие углы.
12. Из равенства \( \triangle ABM = \triangle CBM \) мы знаем, что \( \angle ABM = \angle CBM \).
13. Следовательно, \( \angle KMB = \angle ABM \).
14. Рассмотрим \( \triangle KBM \). Углы \( \angle KMB \) и \( \angle KBM = \angle ABM \) равны.
15. Следовательно, \( \triangle KBM \) — равнобедренный с основанием \( BK \) и боковыми сторонами \( BK = KM \).

Доказано.