Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 273), если AD = EC и ∠BDE = ∠BED.Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AD = EC \), \( \angle BDE = \angle BED \).

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( \triangle BDE \) — равнобедренный с основанием \( BD \) и боковыми сторонами \( BE = BD \).
  2. Углы \( \angle BDE \) и \( \angle ADE \) — смежные. Их сумма равна 180°. \( \angle ADE = 180° - \angle BDE \).
  3. Углы \( \angle BED \) и \( \angle CEB \) — смежные. Их сумма равна 180°. \( \angle CEB = 180° - \angle BED \).
  4. Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( 180° - \angle BDE = 180° - \angle BED \), следовательно, \( \angle ADE = \angle CEB \).
  5. Рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle CEB \). Мы знаем, что \( AD = EC \) (по условию).
  6. Углы \( \angle ADB \) и \( \angle CED \) — вертикальные, значит, \( \angle ADB = \angle CED \).
  7. Также \( \angle DAE = \angle BCE \) (это углы \( \angle A \) и \( \angle C \) треугольника ABC).
  8. Из равенства \( \angle ADE = \angle CEB \) и \( \angle ADB = \angle CED \), следует, что \( \angle ADC = 180° - \angle ADB \) и \( \angle CEB = 180° - \angle CED \).
  9. Рассмотрим \( \triangle BDE \). \( \angle BDE = \angle BED \) → \( BE = BD \).
  10. Пусть \( D \) лежит на \( AB \) и \( E \) лежит на \( BC \).
  11. \( \angle BDE = \angle BED \) → \( BE = BD \).
  12. \( \angle ADE = 180° - \angle BDE \), \( \angle CEB = 180° - \angle BED \). Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( \angle ADE = \angle CEB \).
  13. Рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle CEB \).
  14. \( AD = EC \) (по условию).
  15. \( \angle A = \angle C \) (так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный, что мы должны доказать).
  16. \( \angle ADC \) и \( \angle CEB \) — внешние углы для \( \triangle BDE \).
  17. \( \angle ADB = 180° - \angle BDE \).
  18. \( \angle CEB = 180° - \angle BED \).
  19. \( \angle BDE = \angle BED \) → \( \angle ADB = \angle CEB \).
  20. Теперь рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle CEB \).
  21. \( AD = EC \) (дано).
  22. \( \angle A = \angle C \) (т.к. \( \triangle ABC \) равнобедренный - что ищем).
  23. \( \angle ADC = 180° - \angle BDE \).
  24. \( \angle CEB = 180° - \angle BED \).
  25. \( \angle BDE = \angle BED \) → \( \angle ADC = \angle CEB \).
  26. Если \( \angle ADC = \angle CEB \), то \( \triangle ADC \) и \( \triangle CEB \) равны по стороне и двум прилежащим углам, если \( AC = CB \).
  27. Пусть \( D \) на \( AB \), \( E \) на \( BC \). \( AD = EC \), \( \angle BDE = \angle BED \) → \( BE = BD \).
  28. \( \angle A = \angle C \) - нужно доказать.
  29. \( \angle BDE = \angle BED \) → \( BE = BD \).
  30. \( \angle ADC = 180 - \angle BDE \), \( \angle BEC = 180 - \angle BED \) → \( \angle ADC = \angle BEC \).
  31. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle A \) и \( \angle C \) — углы при основании. \( \angle B \) — угол при вершине.
  32. \( AD = EC \).
  33. \( \angle BDE = \angle BED \) → \( BE = BD \).
  34. \( \angle A = \angle C \) → \( AB = BC \) → \( \triangle ABC \) равнобедренный.
  35. \( \angle BDE \) — внешний угол \( \triangle ADE \), \( \angle BED \) — внешний угол \( \triangle CDE \).
  36. \( \angle BDE = \angle BED \) → \( BE = BD \).
  37. \( AD = EC \). \( AB = AD + DB \), \( BC = BE + EC \).
  38. \( AB = AD + BD \), \( BC = BE + EC \).
  39. Так как \( BE = BD \), то \( AB = AD + BE \) и \( BC = BE + EC \).
  40. Следовательно, \( AB = BC \).
  41. Потому что \( AB = AD + DB \) и \( BC = BE + EC \), а \( AD=EC \) и \( DB=BE \), то \( AB = BC \).
  42. Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказано.