2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 273), если AD = EC и ∠BDE = ∠BED.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AD = EC \), \( \angle BDE = \angle BED \).

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( \triangle BDE \) — равнобедренный с основанием \( BD \). Отсюда следует, что \( BD = BE \).
2. В \( \triangle ABC \) точки D и E лежат на сторонах AC и BC соответственно.
3. Рассмотрим отрезки AD и EC. Нам дано, что \( AD = EC \).
4. Теперь рассмотрим стороны AB и BC треугольника ABC.
5. \( AB = AD + DB \)
6. \( BC = BE + EC \)
7. Так как \( BD = BE \) (из пункта 1) и \( AD = EC \) (по условию), то, сложив равные отрезки, получим:
8. \( AD + DB = EC + BE \)
9. \( AB = BC \)
10. Так как две стороны треугольника ABC равны (AB = BC), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.