5. Площадь прямоугольного треугольника равна 242√3 / 3. Один из острых углов равен 30%. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

По условию, \( S = \frac{242\sqrt{3}}{3} \). Один из острых углов равен \( 30^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Катет, прилежащий к углу \( 30^{\circ} \), — это катет \( b \) (прилежащий к \( \angle A \)). Катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \), — это катет \( a \) (прилежащий к \( \angle B \)).

Из условия \( \angle B = 60^{\circ} \), значит, катет \( a \) противолежит углу \( 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \tan A = \frac{a}{b} \) или \( \tan 30^{\circ} = \frac{a}{b} \) или \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b} \) или \( b = a\sqrt{3} \).

Подставим это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \).

Теперь приравняем это к данному значению площади:

\( \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{242\sqrt{3}}{3} \).

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( \frac{a^2}{2} = \frac{242}{3} \).

Умножим обе части на 2:

\( a^2 = \frac{242 \cdot 2}{3} = \frac{484}{3} \).

Найдем \( a \):

\( a = \sqrt{\frac{484}{3}} = \frac{\sqrt{484}}{\sqrt{3}} = \frac{22}{\sqrt{3}} \).

Теперь найдем катет \( b \), который прилежит к углу \( 30^{\circ} \):

\( b = a\sqrt{3} = \frac{22}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 22 \).

Ответ: 22