6. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 60 и BC = 15. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

Дана окружность с центром в точке \( A \), проходящая через точку \( C \). Следовательно, радиус окружности \( r = AC = 60 \).

Из точки \( B \) к этой окружности проведена касательная. Обозначим точку касания через \( T \). Отрезок \( BT \) — это длина касательной.

По свойству касательной, радиус \( AT \), проведенный в точку касания \( T \), перпендикулярен касательной \( BT \). Следовательно, \( \angle ATB = 90^{\circ} \).

Мы имеем прямоугольный треугольник \( ATB \) с прямым углом \( T \).

Из условия задачи:

• \( AC = 60 \) (радиус окружности, \( r \)).
• \( BC = 15 \).
• Точка \( C \) лежит на отрезке \( AB \).

Значит, длина отрезка \( AB \) равна сумме \( AC \) и \( BC \):

\( AB = AC + BC = 60 + 15 = 75 \).

В прямоугольном треугольнике \( ATB \):

• Гипотенуза \( AB = 75 \).
• Катет \( AT = r = 60 \).
• Катет \( BT \) — искомая длина касательной.

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \).

\( 75^2 = 60^2 + BT^2 \).

\( 5625 = 3600 + BT^2 \).

\( BT^2 = 5625 - 3600 = 2025 \).

\( BT = \sqrt{2025} \).

Чтобы найти корень из 2025, можно заметить, что число оканчивается на 25, значит, корень оканчивается на 5. Проверим числа, оканчивающиеся на 5: \( 40^2 = 1600 \), \( 50^2 = 2500 \). Значит, корень находится между 40 и 50. Проверим \( 45^2 \): \( 45 \times 45 = (50-5)(40+5) \) или \( 45^2 = (40+5)^2 = 1600 + 2 \cdot 40 \cdot 5 + 25 = 1600 + 400 + 25 = 2025 \).

\( BT = 45 \).

Ответ: 45