5. Положительно заряженный шарик массой \(m=1\) г подвешен на нити длиной \(L=1\) м и равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией \(2{,}55\cdot10^{-3}\) Тл (см. рисунок). Заряд шарика \(q=1\) мКл. Нить образует с вертикалью угол \(\alpha=60^\circ\). Найдите скорость движения шарика по окружности.

По рисунку магнитное поле направлено вертикально вниз, шарик имеет положительный заряд и движется по горизонтальной окружности. Радиус окружности \(r=L\sin\alpha=1\cdot\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\) м.

В вертикальном направлении ускорения нет: \(T\cos\alpha=mg\), где \(T\) — натяжение нити. В горизонтальном направлении составляющая натяжения направлена к оси вращения, а сила Лоренца — наружу: \(T\sin\alpha-|q|vB=\frac{mv^2}{r}\).

Так как \(T\sin\alpha=mg\tan\alpha\), получаем \(\frac{mv^2}{r}+|q|Bv-mg\tan\alpha=0\). Положительный корень этого квадратного уравнения:

\(v=\frac{-|q|Br+\sqrt{(|q|Br)^2+4m^2gr\tan\alpha}}{2m}\).

Подставляя \(m=10^{-3}\) кг, \(q=10^{-3}\) Кл, \(B=2.55\cdot10^{-3}\) Тл, \(r=\frac{\sqrt3}{2}\) м и \(g=9.8\) м/с², получаем \(v\approx3.6\) м/с.

Ответ: скорость шарика приблизительно 3,6 м/с.