№5. Построить график функции $$y = \sqrt{x - 3} + 1$$

Решение:

Для построения графика функции \( y = \sqrt{x - 3} + 1 \), учтем следующие свойства:

1. Функция \( \sqrt{x} \) определена для \( x \geq 0 \).
2. В данном случае подкоренное выражение \( x - 3 \) должно быть больше или равно нулю: \( x - 3 \geq 0 \), что означает \( x \geq 3 \).
3. График функции \( y = \sqrt{x} \) смещается на 3 единицы вправо (из-за \( x - 3 \)) и на 1 единицу вверх (из-за \( +1 \)).

Найдем несколько точек для построения графика:

• При \( x = 3 \): \( y = \sqrt{3 - 3} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1 \). Точка: (3; 1).
• При \( x = 4 \): \( y = \sqrt{4 - 3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2 \). Точка: (4; 2).
• При \( x = 7 \): \( y = \sqrt{7 - 3} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3 \). Точка: (7; 3).
• При \( x = 12 \): \( y = \sqrt{12 - 3} + 1 = \sqrt{9} + 1 = 3 + 1 = 4 \). Точка: (12; 4).

Ответ: график функции \( y = \sqrt{x - 3} + 1 \) — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (3; 1) и идущая вправо вверх.