5. Построить графики функций \( y = 2x^2 \) и \( y = -x + 3 \) в одной системе координат. Укажите координаты точек пересечения этих графиков.

Решение:

1. Построение графика функции \( y = 2x^2 \) (парабола):

Это парабола с вершиной в начале координат \( (0,0) \), ветви направлены вверх. Коэффициент \( 2 \) делает её уже, чем \( y = x^2 \). Найдем несколько точек:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 2(0)^2 = 0 \). Точка: \( (0,0) \).
• Если \( x = 1 \), то \( y = 2(1)^2 = 2 \). Точка: \( (1,2) \).
• Если \( x = -1 \), то \( y = 2(-1)^2 = 2 \). Точка: \( (-1,2) \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = 2(2)^2 = 8 \). Точка: \( (2,8) \).
• Если \( x = -2 \), то \( y = 2(-2)^2 = 8 \). Точка: \( (-2,8) \).

2. Построение графика функции \( y = -x + 3 \) (прямая):

Это прямая. Найдем две точки:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -0 + 3 = 3 \). Точка: \( (0,3) \).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = -x + 3 \), значит \( x = 3 \). Точка: \( (3,0) \).
• Также можно взять точку \( (1,2) \) из первой функции, чтобы проверить, лежит ли она на прямой: \( y = -1 + 3 = 2 \). Точка \( (1,2) \) лежит на прямой.

3. Нахождение точек пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

\( 2x^2 = -x + 3 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 2x^2 + x - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждой точки пересечения, подставив \( x \) в уравнение прямой (или параболы):

• Для \( x_1 = 1 \): \( y_1 = -1 + 3 = 2 \). Точка пересечения: \( (1,2) \).
• Для \( x_2 = -1.5 \): \( y_2 = -(-1.5) + 3 = 1.5 + 3 = 4.5 \). Точка пересечения: \( (-1.5, 4.5) \).

Ответ: Точки пересечения графиков: \( (1; 2) \) и \( (-1.5; 4.5) \).