5. Постройте график функции f(x) = -x² - 2x + 3. Пользуясь графиком, найдите: 1) промежуток убывания функции; 2) множество решений неравенства f(x) ≤ 0.

Решение:

Построение графика функции \(f(x) = -x^2 - 2x + 3\)

Это квадратичная функция, график — парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный (a = -1).

1. Найдем вершину параболы:
   \(x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = \frac{2}{-2} = -1\)
   \(y_в = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\)
   Вершина параболы в точке \((-1, 4)\).
2. Найдем точки пересечения с осью X (нули функции):
   Приравняем \(f(x) = 0\): \(-x^2 - 2x + 3 = 0\)
   Умножим на -1: \(x^2 + 2x - 3 = 0\)
   Решим квадратное уравнение: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)
   \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
   \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
   Точки пересечения с осью X: \((-3, 0)\) и \((1, 0)\).
3. Найдем точку пересечения с осью Y:
   При \(x = 0\): \(f(0) = -(0)^2 - 2(0) + 3 = 3\)
   Точка пересечения с осью Y: \((0, 3)\).

График:

1) Промежуток убывания функции:

Парабола убывает слева от вершины. Вершина находится в \(x = -1\). Следовательно, функция убывает на промежутке \((-\infty; -1]\).

2) Множество решений неравенства \(f(x) ≤ 0\):

Неравенство \(f(x) ≤ 0\) означает, что значения функции \(f(x)\) должны быть меньше или равны нулю. Это происходит там, где график параболы находится ниже или на оси X. На оси X график пересекается в точках \(x = -3\) и \(x = 1\). Парабола ниже оси X при \(x ≤ -3\) и \(x ≥ 1\).

Ответ:

1) Функция убывает на промежутке \((-\infty; -1]\).

2) Множество решений неравенства: \(x ≤ -3\) или \(x ≥ 1\).