7. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если её третий член равен 9, а восьмой равен 24.

Решение:

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

По условию имеем:

\(a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 9\) (1)

\(a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 24\) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\[(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 24 - 9\]\[5d = 15\]\[d = \frac{15}{5} = 3\]

Теперь найдем \(a_1\), подставив \(d=3\) в уравнение (1):

\[a_1 + 2(3) = 9\]\[a_1 + 6 = 9\]\[a_1 = 9 - 6 = 3\]

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} n\).

Найдем сумму первых десяти членов (\(n=10\)):

\[S_{10} = \frac{2(3) + (10-1)3}{2} × 10\]\[S_{10} = \frac{6 + 9 × 3}{2} × 10\]\[S_{10} = \frac{6 + 27}{2} × 10\]\[S_{10} = \frac{33}{2} × 10\]\[S_{10} = 33 × 5\]\[S_{10} = 165\]

Ответ: 165.