9. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Решение:

Пусть \(v\) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \(v + 5\) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \(v - 5\) км/ч.

Расстояние в одну сторону: 216 км.

Время в пути по течению: \(t_1 = \frac{216}{v+5}\) часов.

Время в пути против течения: \(t_2 = \frac{216}{v-5}\) часов.

Время стоянки: 5 часов.

Общее время в пути: \(t_1 + t_2 + 5 = 23\) часа.

\(\frac{216}{v+5} + \frac{216}{v-5} + 5 = 23\)

\(\frac{216}{v+5} + \frac{216}{v-5} = 23 - 5\]

\[\frac{216}{v+5} + \frac{216}{v-5} = 18\]

Разделим обе части на 18:

\[\frac{216}{18(v+5)} + \frac{216}{18(v-5)} = 1\]\[\frac{12}{v+5} + \frac{12}{v-5} = 1\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{12(v-5) + 12(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 1\]\[\frac{12v - 60 + 12v + 60}{v^2 - 25} = 1\]\[\frac{24v}{v^2 - 25} = 1\]

\(24v = v^2 - 25\]

\(v^2 - 24v - 25 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676\]\[\sqrt{D} = 26\]

\(v_1 = \frac{24 + 26}{2(1)} = \frac{50}{2} = 25\)

\[v_2 = \frac{24 - 26}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v = 25\) км/ч.

Ответ: 25 км/ч.