5. Постройте график функции y = x² − 5x + 6. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 5; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежуток, на котором функция возрастает; д) множество значений функции; е) область определения функции.

Преобразуем функцию: \(y=x^2-5x+6=(x-2.5)^2-0.25\). Это парабола с ветвями вверх и вершиной \((2.5,-0.25)\).

а) При \(x=1.5\): \(y=1.5^2-5\cdot1.5+6=2.25-7.5+6=0.75\).

б) Приравняем функцию к 5: \(x^2-5x+6=5\), то есть \(x^2-5x+1=0\). Тогда \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2\).

в) Разложение на множители: \(y=(x-2)(x-3)\), поэтому нули функции — 2 и 3. Поскольку ветви направлены вверх, \(y>0\) при \(x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(2,3)\).

г) Парабола возрастает справа от вершины: \(x\in(2.5,+\infty)\).

д) Минимальное значение достигается в вершине и равно −0.25, значит, множество значений — \([-0.25,+\infty)\).

е) Функция определена при всех действительных значениях x: \(D=\mathbb{R}\).

Ответ: а) 0,75; б) \(x=\frac{5-\sqrt{21}}2\) и \(x=\frac{5+\sqrt{21}}2\); в) нули 2 и 3, положительна на \((-\infty,2)\cup(3,+\infty)\), отрицательна на \((2,3)\); г) возрастает на \((2.5,+\infty)\); д) \([-0.25,+\infty)\); е) ℝ.