5. Преобразуйте в дробь выражение: 1) a) $(a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1}$ б) $(x^{-3}-1)(1-x)^{-2}x^3$ 2) a) $(\frac{x}{y})^{-2}-(\frac{x}{y})^{-3}$ б) $(\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}})(a-b)^{-1}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Преобразуйте в дробь выражение: 1) a) $(a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1}$ б) $(x^{-3}-1)(1-x)^{-2}x^3$ 2) a)…$ Фото задания

Accepted Answer

1. а) $ (a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1} $

Сначала преобразуем выражения в скобках в дроби:
$ a^{-2} = \frac{1}{a^2} $, $ b^{-2} = \frac{1}{b^2} $, $ (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b} $
Подставим: $ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) \cdot \frac{1}{a-b} $
Приведем первую скобку к общему знаменателю $ a^2b^2 $: $ (\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}) \cdot \frac{1}{a-b} $
Разложим $ b^2 - a^2 $ как разность квадратов: $ \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{1}{a-b} $
Заметим, что $ b-a = -(a-b) $: $ \frac{-(a-b)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{1}{a-b} $
Сократим $ a-b $: $ \frac{-(b+a)}{a^2b^2} = -\frac{a+b}{a^2b^2} $

1. б) $ (x^{-3}-1)(1-x)^{-2}x^3 $

Преобразуем выражения:
$ x^{-3} = \frac{1}{x^3} $
$ (1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^2} $
Подставим: $ (\frac{1}{x^3} - 1) \cdot \frac{1}{(1-x)^2} \cdot x^3 $
Приведем первую скобку к общему знаменателю $ x^3 $: $ (\frac{1 - x^3}{x^3}) \cdot \frac{1}{(1-x)^2} \cdot x^3 $
Сократим $ x^3 $: $ (1 - x^3) \cdot \frac{1}{(1-x)^2} $
Разложим $ 1 - x^3 $ как разность кубов: $ (1-x)(1+x+x^2) \cdot \frac{1}{(1-x)^2} $
Сократим $ 1-x $: $ \frac{1+x+x^2}{1-x} $

2. а) $ (\frac{x}{y})^{-2}-(\frac{x}{y})^{-3} $

$ (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{y}{x})^2 = \frac{y^2}{x^2} $
$ (\frac{x}{y})^{-3} = (\frac{y}{x})^3 = \frac{y^3}{x^3} $
Вычтем дроби: $ \frac{y^2}{x^2} - \frac{y^3}{x^3} $. Приведем к общему знаменателю $ x^3 $: $ \frac{y^2 \cdot x}{x^3} - \frac{y^3}{x^3} = \frac{xy^2 - y^3}{x^3} = \frac{y^2(x-y)}{x^3} $

2. б) $ (\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}})(a-b)^{-1} $

Преобразуем выражения в первой скобке: $ \frac{1}{a^{-1}} = a^1 = a $ и $ \frac{1}{b^{-1}} = b^1 = b $.
Первая скобка равна $ a+b $.
Вторая скобка: $ (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b} $.
Перемножим: $ (a+b) \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $

Ответ: 1) а) $ -\frac{a+b}{a^2b^2} $; б) $ \frac{1+x+x^2}{1-x} $. 2) а) $ \frac{y^2(x-y)}{x^3} $; б) $ \frac{a+b}{a-b} $.

5. Преобразуйте в дробь выражение: 1) a) \((a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1}\) б) \((x^{-3}-1)(1-x)^{-2}x^3\) 2) a) \((\frac{x}{y})^{-2}-(\frac{x}{y})^{-3}\) б) \((\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}})(a-b)^{-1}\)