5. При каких значениях \(a\) сумма дробей \(\dfrac{a-3}{a+1}\) и \(\dfrac{a+1}{a-2}\) равна дроби \(\dfrac{a^2+11}{a^2-a-2}\)?

Знаменатель правой дроби раскладывается так: \(a^2-a-2=(a+1)(a-2)\). Поэтому область допустимых значений: \(a\ne-1\), \(a\ne2\).

Приведём сумму к общему знаменателю:

\(\dfrac{a-3}{a+1}+\dfrac{a+1}{a-2}=\dfrac{(a-3)(a-2)+(a+1)^2}{(a+1)(a-2)}=\dfrac{2a^2-3a+7}{(a+1)(a-2)}\).

Приравняем числители: \(2a^2-3a+7=a^2+11\). Тогда \(a^2-3a-4=0\), то есть \((a-4)(a+1)=0\). Получаем \(a=4\) или \(a=-1\), но \(a=-1\) не входит в область допустимых значений.

Ответ: \(a=4\).