5. При каких значениях n можно представить в виде квадрата двучлена выражение:

Решение:

Квадрат двучлена имеет вид \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \).

а) \( x^2 - nx + 16 \)

Здесь \( a^2 = x^2 \) (значит, \( a=x \)) и \( b^2 = 16 \) (значит, \( b=4 \)).

Средний член \( nx \) должен быть равен \( 2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x \) или \( -2ab = -2 \cdot x \cdot 4 = -8x \).

Значит, \( n=8 \) или \( n=-8 \).

б) \( x^2 + 6x - n \)

Здесь \( a^2 = x^2 \) (значит, \( a=x \)) и \( 2ab = 6x \). Тогда \( 2 · x · b = 6x \), откуда \( b=3 \).

Тогда \( b^2 = 3^2 = 9 \). В выражении это \( -n \), значит, \( -n = 9 \), следовательно, \( n = -9 \).

в) \( nx^2 - 12x + 4 \)

Здесь \( b^2 = 4 \) (значит, \( b=2 \)) и \( 2ab = 12x \). Тогда \( 2 · a · 2 = 12x \), откуда \( 4a = 12x \), значит, \( a=3x \).

Тогда \( a^2 = (3x)^2 = 9x^2 \). В выражении это \( nx^2 \), значит, \( n = 9 \).

г) \( x^2 + nx + \frac{49}{4} \)

Здесь \( a^2 = x^2 \) (значит, \( a=x \)) и \( b^2 = \frac{49}{4} \) (значит, \( b = \frac{7}{2} \)).

Средний член \( nx \) должен быть равен \( 2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{7}{2} = 7x \) или \( -2ab = -2 \cdot x \cdot \frac{7}{2} = -7x \).

Значит, \( n=7 \) или \( n=-7 \).

Ответ: а) \( n=\pm 8 \); б) \( n=-9 \); в) \( n=9 \); г) \( n=\pm 7 \).