№ 5. При каких значениях параметра p неравенство px² + (2p + 1)x − (1 − p) < 0 верно при всех значениях x?

Рассмотрим квадратный трёхчлен как функцию от x. Чтобы он был строго отрицателен при всех x, необходимо, чтобы коэффициент при x² был отрицательным, а дискриминант — отрицательным.

Коэффициент при x²: p < 0.

Дискриминант:

D = (2p + 1)² − 4p(−1 + p) = 8p + 1.

Условие D < 0 даёт p < −1/8. Оно уже влечёт p < 0, поэтому условие на коэффициент также выполнено.

Ответ: p < −1/8.