5. Реши задачу. Запиши решение и ответ. 1) Площадь прямоугольного участка равна x(20 − x) м², где x — длина одной стороны. Запиши выражение в виде −(x − m)² + n и найди, при какой длине x площадь наибольшая. 2) Сумма квадратов двух чисел, одно из которых равно x, а другое (x + 6), записывается как x² + (x + 6)². Представь это выражение в виде 2(x + m)² + n и найди его наименьшее значение. 3) Мяч подбросили вертикально вверх. Высота мяча (в метрах) через x секунд описывается выражением −x² + 8x. Запиши это выражение в виде −(x − m)² + n и определи, через сколько секунд мяч достигнет наибольшей высоты и какой она будет.

Выделим полный квадрат:

\(x(20-x)=-x^2+20x=-(x^2-20x)=-(x-10)^2+100\).

Квадрат неотрицателен, поэтому выражение наибольшее при \(x=10\). Тогда площадь равна \(100\text{ м}^2\).

Преобразуем выражение:

\(x^2+(x+6)^2=2x^2+12x+36=2(x+3)^2+18\).

Поскольку \((x+3)^2\geq 0\), наименьшее значение достигается при \(x=-3\) и равно \(18\).

Выделим полный квадрат:

\(-x^2+8x=-(x^2-8x)=-(x-4)^2+16\).

Наибольшая высота достигается через \(4\) секунды и равна \(16\) метрам.