5) Решить систему неравенств: \(\begin{cases}2x-\frac{x+1}{2}\ge\frac{x-1}{3},\\(x+5)(|x-5|+3)\le(x-6)^2.\end{cases}\)

Первое неравенство умножим на 6: \(12x-3(x+1)\ge2(x-1)\). После упрощения получаем \(3x\ge1\), то есть \(x\ge\frac13\).

Во втором неравенстве рассмотрим случаи.

При \(x<5\): \(|x-5|=5-x\), поэтому \((x+5)(8-x)\le(x-6)^2\). После упрощения: \(2x^2-15x-4\ge0\). Корни равны \(\frac{15\pm\sqrt{257}}4\); с учётом \(x<5\) и \(x\ge\frac13\) решений нет.

При \(x\ge5\): \(|x-5|=x-5\), поэтому \((x+5)(x-2)\le(x-6)^2\). После упрощения получается \(15x\le46\), что несовместимо с \(x\ge5\).

Ответ: решений нет.