5. Решите неравенства: 1) √(2x² + 3x − 2) > 0; 2) √(2 + x − x²) > −1; 3) √(6x − x²) < √6; 4) √(x² − x) > √2; 5) √(x² + 2x) > −3 − x²; 6) √(4x − x²) > −2 − 3x².

Корень строго больше нуля, когда подкоренное выражение строго положительно: \(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)>0\). Произведение положительно вне корней.

Ответ: \((-\infty,-2)\cup(\frac12,+\infty)\).

Область определения: \(2+x-x^2\ge0\), откуда \((x+1)(2-x)\ge0\) и \(x\in[-1,2]\). Левая часть неотрицательна, поэтому она всегда больше \(-1\) на области определения.

Ответ: \([-1,2]\).

Область определения: \(6x-x^2\ge0\), то есть \(x\in[0,6]\). Обе части неотрицательны, поэтому сравниваем подкоренные выражения: \(6x-x^2<6\), или \(x^2-6x+6>0\). Корни последнего выражения: \(3\pm\sqrt3\); оно положительно вне промежутка между корнями.

Ответ: \([0,3-\sqrt3)\cup(3+\sqrt3,6]\).

Область определения: \(x^2-x\ge0\). Сравниваем неотрицательные части и возводим в квадрат: \(x^2-x>2\), то есть \((x-2)(x+1)>0\). Полученные промежутки уже лежат в области определения.

Ответ: \((-\infty,-1)\cup(2,+\infty)\).

Область определения: \(x^2+2x\ge0\), то есть \(x\in(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)\). Правая часть \(-3-x^2\) всегда отрицательна, а корень неотрицателен, поэтому неравенство верно на всей области определения.

Ответ: \((-\infty,-2]\cup[0,+\infty)\).

Область определения: \(4x-x^2\ge0\), откуда \(x\in[0,4]\). Правая часть \(-2-3x^2\) отрицательна, а корень неотрицателен; неравенство выполняется на всей области определения.

Ответ: \([0,4]\).