7. Решите неравенства: 1) √(x + 1) − √x < √(x − 1); 2) √(x + 3) < √(7 − x) + √(10 − x).

Область определения: \(x\ge1\). При \(x=1\) неравенство неверно. При \(x>1\) обе части положительны, поэтому возводим в квадрат:

\(2x+1-2\sqrt{x(x+1)}

Обе части последнего неравенства положительны; после возведения в квадрат получаем \((x+2)^2<4x(x+1)\), то есть \(x^2>4\). С учётом \(x>1\) имеем \(x>2\).

Ответ: \((2,+\infty)\).

Область определения: \(-3\le x\le7\). Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:

\(x+3<(\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x})^2\), откуда \(3x-14<2\sqrt{(7-x)(10-x)}\).

При \(x\le\frac{14}{3}\) это неравенство выполняется: левая часть неположительна, правая неотрицательна. При \(x>\frac{14}{3}\) обе части положительны, поэтому возводим в квадрат: \((3x-14)^2<4(7-x)(10-x)\). После упрощения получаем \((x+\frac{14}{5})(x-6)<0\), то есть \(x<6\). Объединяем с областью определения.

Ответ: \([-3,6)\).