6. Решите неравенства: 1) √(x + 2) > √(4 − x); 2) √(3 + 2x) > √(x + 1); 3) √(2x − 5) < √(5x + 4); 4) √(3x − 2) > x − 2; 5) √(5x + 11) > x + 3; 6) √(3 − x) < √(3x − 5).

Область определения: \(-2\le x\le4\). Обе части неотрицательны, поэтому сравниваем подкоренные выражения: \(x+2>4-x\), откуда \(x>1\).

Ответ: \((1,4]\).

Область определения обоих корней: \(x\ge-1\). Сравниваем подкоренные выражения: \(3+2x>x+1\), то есть \(x>-2\). Это выполняется на всей области определения.

Ответ: \([-1,+\infty)\).

Область определения: \(x\ge\frac52\). Сравниваем подкоренные выражения: \(2x-5<5x+4\), откуда \(x>-3\). Это верно для каждого \(x\) из области определения.

Ответ: \([\frac52,+\infty)\).

Область определения: \(x\ge\frac23\). При \(\frac23\le x<2\) правая часть отрицательна, поэтому неравенство верно. При \(x\ge2\) обе части неотрицательны, и можно возвести их в квадрат: \(3x-2>(x-2)^2\), то есть \((x-1)(x-6)<0\). С учётом области определения получаем \([2,6)\); объединяем с первой частью.

Ответ: \([\frac23,6)\).

Область определения: \(x\ge-\frac{11}{5}\), поэтому \(x+3>0\). Возводим обе части в квадрат: \(5x+11>(x+3)^2\), откуда \((x+2)(x-1)<0\). Пересечение с областью определения — \((-2,1)\).

Ответ: \((-2,1)\).

Область определения: \(\frac53\le x\le3\). Обе части неотрицательны, поэтому сравниваем подкоренные выражения: \(3-x<3x-5\), откуда \(x>2\).

Ответ: \((2,3]\).