5. Решите неравенства: 1) $\log_{\frac12}(x-3)>2$; 2) $2\log_{\frac12}(x-3)+\log_{\frac12}(9-x)\ge-3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите неравенства: 1) $\log_{\frac12}(x-3)>2$; 2) $2\log_{\frac12}(x-3)+\log_{\frac12}(9-x)\ge-3$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $x>3$. Поскольку основание $\frac12$ меньше 1, при переходе к аргументам знак неравенства меняется: $x-3<\left(\frac12\right)^2=\frac14$. С учётом области определения получаем $3<x<\frac{13}{4}$.
Область определения: $3<x<9$. Объединим логарифмы:
$\log_{\frac12}\big((x-3)^2(9-x)\big)\ge-3$.
Так как основание меньше 1, это равносильно $(x-3)^2(9-x)\le8$. Положим $t=x-3$; тогда $0<t<6$, и границы решения задаются уравнением $t^2(6-t)=8$, то есть $t^3-6t^2+8=0$. Два корня на промежутке $(0,6)$ приближённо равны $1.3054$ и $5.7588$. На промежутках у концов области определения произведение $t^2(6-t)$ не превосходит 8, поэтому возвращаясь к $x=t+3$, получаем указанные промежутки.

Ответ: 1) $x\in\left(3,\frac{13}{4}\right)$; 2) $x\in(3,4.3054\ldots]\cup[8.7588\ldots,9)$.

5. Решите неравенства: 1) \(\log_{\frac12}(x-3)&gt;2\); 2) \(2\log_{\frac12}(x-3)+\log_{\frac12}(9-x)\ge-3\).