5. Решите неравенство: 1) 0,5^((x²+7x−15)/(x+2)) ≥ 0,125; 2) 4²ˣ⁺¹ − 17·4ˣ + 4 ≥ 0.

1) Учтём, что \(0{,}125=0{,}5^3\). Поскольку основание \(0{,}5\) находится между 0 и 1, сравнение степеней меняет знак неравенства на противоположный. Также \(x\ne-2\):

\(\frac{x^2+7x-15}{x+2}\leq3\),
\(\frac{x^2+4x-21}{x+2}\leq0\),
\(\frac{(x+7)(x-3)}{x+2}\leq0\).

Критические точки: \(-7\), \(-2\), \(3\). По знакам множителей получаем промежутки \((-\infty;-2)\) и \((-2;3]\); точка \(-2\) исключена из-за нулевого знаменателя.

2) Положим \(t=4^x\), где \(t>0\). Тогда \(4^{2x+1}=4t^2\), и получаем:

\(4t^2-17t+4\geq0\).

Корни соответствующего квадратного трёхчлена:

\(t=\frac{17\pm\sqrt{17^2-4\cdot4\cdot4}}{8}=\frac{17\pm15}{8}\), то есть \(t=\frac14\) и \(t=4\).

Поскольку ветви параболы направлены вверх, \(t\leq\frac14\) или \(t\geq4\). С учётом \(t=4^x\) и возрастания этой функции получаем \(x\leq-1\) или \(x\geq1\).

Ответ: 1) \((-\infty;-2)\cup(-2;3]\); 2) \((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\).