Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
- а) Логарифмическое неравенство.
ОДЗ: \( 3-x > 0 \rightarrow x < 3 \) и \( 12-3x > 0 \rightarrow 3x < 12 \rightarrow x < 4 \). Общее ОДЗ: \( x < 3 \).
Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), то:
$$ 3-x > 12-3x \\ 3x-x > 12-3 \\ 2x > 9 \\ x > 4.5 $$
Решений нет, так как \( x > 4.5 \) не удовлетворяет ОДЗ \( x < 3 \). - б) Экспоненциальное неравенство.
$$ \left(\frac{1}{6}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{6}\right)^{x+1} \le 37 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \cdot \frac{1}{6}^{-1} + \left(\frac{1}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \le 37 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \cdot 6 + \left(\frac{1}{6}\right)^x \cdot \frac{1}{6} \le 37 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \left(6 + \frac{1}{6}\right) \le 37 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \left(\frac{36+1}{6}\right) \le 37 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \cdot \frac{37}{6} \le 37 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \le 37 \cdot \frac{6}{37} \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \le 6 \\ \left(\frac{1}{6}\right)^x \le \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} $$
Так как основание \( \frac{1}{6} < 1 \), то:
$$ x \ge -1 $$ - в) Рациональное неравенство.
$$ \frac{(x+1)(x-4)}{x^2-x-12} > 0 $$ Разложим знаменатель на множители: \( x^2-x-12 = (x-4)(x+3) \).
$$ \frac{(x+1)(x-4)}{(x-4)(x+3)} > 0 $$ Сокращаем \( (x-4) \), учитывая, что \( x \neq 4 \):
$$ \frac{x+1}{x+3} > 0 $$
Решаем методом интервалов. Корни числителя: \( x = -1 \). Корень знаменателя: \( x = -3 \).
Рассмотрим знаки на интервалах:
\( (-\infty; -3) \): \( \frac{-1+1}{-3+3} = \frac{-}{-} = + \) (больше 0).
\( (-3; -1) \): \( \frac{-1+1}{-1+3} = \frac{-}{+} = - \) (меньше 0).
\( (-1; \infty) \), кроме \( x=4 \): \( \frac{+1+1}{+1+3} = \frac{+}{+} = + \) (больше 0).
С учётом \( x \neq 4 \), получаем \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 4) \cup (4; \infty) \).
Ответ: а) решений нет; б) $$x \ge -1$$; в) $$x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 4) \cup (4; \infty)$$
