№5. Решите систему уравнений: { 27^x = 9^y, 81^x = 3^(y+1) }

Система уравнений: \begin{cases} 27^x = 9^y \\ 81^x = 3^{y+1} \end{cases}. Представим все числа как степени 3: \begin{cases} (3^3)^x = (3^2)^y \\ (3^4)^x = 3^{y+1} \end{cases}. Упростим: \begin{cases} 3^{3x} = 3^{2y} \\ 3^{4x} = 3^{y+1} \end{cases}. Сравним показатели: \begin{cases} 3x = 2y \\ 4x = y + 1 \end{cases}. Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = \frac{3x}{2}\). Подставим это во второе уравнение: \(4x = \frac{3x}{2} + 1\). Умножим обе части на 2: \(8x = 3x + 2\). Перенесем 3x влево: \(5x = 2\). Разделим на 5: \(x = \frac{2}{5}\). Найдем \(y\): \(y = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\). Ответ: \(x = \frac{2}{5}, y = \frac{3}{5}\)