№5. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}\dfrac{3}{x+y}+\dfrac{5}{x-y}=7,\\[2pt]\dfrac{3}{x+y}-\dfrac{2}{x-y}=-1.\end{cases}\)

Ограничения: \(x+y\ne0\), \(x-y\ne0\). Обозначим \(a=\dfrac{1}{x+y}\) и \(b=\dfrac{1}{x-y}\). Тогда получаем линейную систему:

\(3a+5b=7,\quad 3a-2b=-1.\)

Вычтем второе уравнение из первого: \(7b=8\), поэтому \(b=\dfrac{8}{7}\). Подставим во второе: \(3a-\dfrac{16}{7}=-1\), откуда \(a=\dfrac{3}{7}\).

Следовательно, \(x+y=\dfrac{7}{3}\), а \(x-y=\dfrac{7}{8}\). Складывая эти равенства, получаем \(2x=\dfrac{77}{24}\), то есть \(x=\dfrac{77}{48}\). Тогда \(y=\dfrac{7}{3}-\dfrac{77}{48}=\dfrac{35}{48}\).

Ответ: \(x=\dfrac{77}{48},\ y=\dfrac{35}{48}\).