5. Решите уравнение: a) (4x - 3)(4x + 3) - (4x - 1)² = 3x; б) 16c² - 49 = 0.

Решение:

• a) (4x - 3)(4x + 3) - (4x - 1)² = 3x
• Сначала раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) для первого члена и формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) для второго члена.
• \( (4x - 3)(4x + 3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9 \).
• \( (4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1 \).
• Подставим полученные выражения в уравнение:
• \( (16x^2 - 9) - (16x^2 - 8x + 1) = 3x \).
• Раскроем скобки (обратите внимание на знак минус перед второй скобкой):
• \( 16x^2 - 9 - 16x^2 + 8x - 1 = 3x \).
• Приведем подобные слагаемые:
• \( (16x^2 - 16x^2) + 8x + (-9 - 1) = 3x \)
• \( 8x - 10 = 3x \).
• Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а константы — в правую:
• \( 8x - 3x = 10 \)
• \( 5x = 10 \).
• Разделим обе части на 5:
• \( x = \frac{10}{5} = 2 \).
• б) 16c² - 49 = 0
• Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + c = 0 \). Его можно решить, выразив \( c^2 \) или разложив на множители, используя формулу разности квадратов.
• Способ 1: Выражение \( c^2 \)
• \( 16c^2 = 49 \)
• \( c^2 = \frac{49}{16} \)
• \( c = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \pm \frac{7}{4} \).
• Способ 2: Разложение на множители
• \( 16c^2 - 49 = 0 \)
• Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = 4c \) и \( b = 7 \).
• \( (4c)^2 - 7^2 = 0 \)
• \( (4c - 7)(4c + 7) = 0 \).
• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \( 4c - 7 = 0 \) или \( 4c + 7 = 0 \)
• \( 4c = 7 \) или \( 4c = -7 \)
• \( c = \frac{7}{4} \) или \( c = -\frac{7}{4} \).

Ответ: а) \( x = 2 \); б) \( c = \pm \frac{7}{4} \).