5. Решите уравнение: a) \(\frac{3z - 1}{z - 5} - \frac{z + 8}{z + 5} = -1;\)

Решение:

1. Приведение к общему знаменателю: Умножим обе части уравнения на \( (z - 5)(z + 5) \), чтобы избавиться от дробей.
2. Преобразование уравнения:
• \( (3z - 1)(z + 5) - (z + 8)(z - 5) = -(z - 5)(z + 5) \)
• \( (3z^2 + 15z - z - 5) - (z^2 - 5z + 8z - 40) = -(z^2 - 25) \)
• \( (3z^2 + 14z - 5) - (z^2 + 3z - 40) = -z^2 + 25 \)
• \( 3z^2 + 14z - 5 - z^2 - 3z + 40 = -z^2 + 25 \)
• \( 2z^2 + 11z + 35 = -z^2 + 25 \)
3. Перенос всех членов в одну сторону:
• \( 2z^2 + z^2 + 11z + 35 - 25 = 0 \)
• \( 3z^2 + 11z + 10 = 0 \)
4. Решение квадратного уравнения: Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)
• \( D = 11^2 - 4 · 3 · 10 = 121 - 120 = 1 \)
• \( \sqrt{D} = 1 \)
5. Нахождение корней:
• \( z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 1}{2 · 3} = \frac{-12}{6} = -2 \)
• \( z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 1}{2 · 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \)
6. Проверка ОДЗ: Знаменатели \( z-5 \) и \( z+5 \) не должны быть равны нулю, то есть \( z
   eq 5 \) и \( z
   eq -5 \). Оба найденных корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: -2; -\( \frac{5}{3} \)