5. Решите уравнение: a) \( \frac{4x+5}{6} = \frac{3x-2}{4} + \frac{2x-5}{3} \); б) \( x^2 + \frac{1}{7}x = 0 \).

Решение:

1. а) Найдём общий знаменатель для дробей:
   Общий знаменатель для 6, 4 и 3 — это 12.
   Умножим обе части уравнения на 12:
   \( 12 \cdot \frac{4x+5}{6} = 12 \cdot \frac{3x-2}{4} + 12 \cdot \frac{2x-5}{3} \)
   \( 2(4x+5) = 3(3x-2) + 4(2x-5) \)
2. Раскроем скобки:
   \( 8x + 10 = 9x - 6 + 8x - 20 \)
3. Приведём подобные слагаемые в правой части:
   \( 8x + 10 = (9x + 8x) + (-6 - 20) \)
   \( 8x + 10 = 17x - 26 \)
4. Перенесём члены с переменной в правую часть, а числа — в левую:
   \( 10 + 26 = 17x - 8x \)
   \( 36 = 9x \)
5. Найдем неизвестное значение x:
   \( x = \frac{36}{9} = 4 \)
6. б) Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:
   \( x^2 + \frac{1}{7}x = 0 \)
   \( x(x + \frac{1}{7}) = 0 \)
7. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
   \( x = 0 \) или \( x + \frac{1}{7} = 0 \)
8. Решим второе уравнение:
   \( x = -\frac{1}{7} \)

Ответ: а) \( x = 4 \); б) \( x_1 = 0, x_2 = -\frac{1}{7} \).