5. Решите уравнение: а) \(\sqrt[3]{x-9} = 4\); б) \(\left(\frac{1}{9}\right)^{x-13} = 3\); в) \(\log_7 (7-x) = -2\)

Решение:

а) \(\sqrt[3]{x-9} = 4\)

Возведём обе части уравнения в куб:

\[ (\sqrt[3]{x-9})^3 = 4^3 \]\[ x - 9 = 64 \]\[ x = 64 + 9 \]\[ x = 73 \]

б) \(\left(\frac{1}{9}\right)^{x-13} = 3\)

Представим \( \frac{1}{9} \) как \( 9^{-1} \) или \( (3^2)^{-1} = 3^{-2} \). Также представим \( 3 \) как \( 3^1 \).

\[ (3^{-2})^{x-13} = 3^1 \]\[ 3^{-2(x-13)} = 3^1 \]

Приравниваем степени:

\[ -2(x-13) = 1 \]\[ -2x + 26 = 1 \]\[ -2x = 1 - 26 \]\[ -2x = -25 \]\[ x = \frac{-25}{-2} \]\[ x = 12.5 \]

в) \(\log_7 (7-x) = -2\)

Перейдём от логарифмического уравнения к показательному:

\[ 7-x = 7^{-2} \]\[ 7-x = \frac{1}{7^2} \]\[ 7-x = \frac{1}{49} \]

Выразим \( x \):

\[ x = 7 - \frac{1}{49} \]\[ x = \frac{7 \times 49 - 1}{49} \]\[ x = \frac{343 - 1}{49} \]\[ x = \frac{342}{49} \]

Ответ: а) 73; б) 12.5; в) \(\frac{342}{49}\)