7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, поставленных друг на друга. Размеры указаны на рисунке.

Нижний параллелепипед имеет размеры: длина = 5, ширина = 3, высота = 1.

Верхний параллелепипед имеет размеры: длина = 3, ширина = 3, высота = 1.

Найдем площади всех граней:

Нижний параллелепипед:

• Две грани: \( 5 \times 3 = 15 \)
• Две грани: \( 5 \times 1 = 5 \)
• Две грани: \( 3 \times 1 = 3 \)

Верхний параллелепипед:

• Две грани: \( 3 \times 3 = 9 \)
• Две грани: \( 3 \times 1 = 3 \)
• Две грани: \( 3 \times 1 = 3 \)

Теперь нужно учесть, что верхняя грань нижнего параллелепипеда и нижняя грань верхнего параллелепипеда частично перекрываются.

Площадь полной поверхности:

1. Нижняя грань нижнего параллелепипеда: \( 5 \times 3 = 15 \)

2. Боковые грани нижнего параллелепипеда:

• Две грани \( 5 \times 1 = 5 \)
• Две грани \( 3 \times 1 = 3 \)

Общая площадь боковых граней нижнего параллелепипеда: \( 2 \times 5 + 2 \times 3 = 10 + 6 = 16 \)

3. Видимая часть верхней грани нижнего параллелепипеда:

• Общая площадь верхней грани нижнего параллелепипеда: \( 5 \times 3 = 15 \)
• Площадь основания верхнего параллелепипеда: \( 3 \times 3 = 9 \)
• Видимая часть: \( 15 - 9 = 6 \)

4. Боковые грани верхнего параллелепипеда:

• Две грани \( 3 \times 1 = 3 \)
• Две грани \( 3 \times 1 = 3 \)

Общая площадь боковых граней верхнего параллелепипеда: \( 2 \times 3 + 2 \times 3 = 6 + 6 = 12 \)

5. Верхняя грань верхнего параллелепипеда: \( 3 \times 3 = 9 \)

Суммируем все площади:

\( 15 + 16 + 6 + 12 + 9 = 58 \)

Альтернативный способ:

1. Площадь дна: \( 5 \times 3 = 15 \)

2. Площадь верха: \( 3 \times 3 = 9 \)

3. Площадь передней стенки: \( 5 \times 1 + 3 \times 1 = 5 + 3 = 8 \)

4. Площадь задней стенки: \( 5 \times 1 + 3 \times 1 = 5 + 3 = 8 \)

5. Площадь левой боковой стенки: \( 3 \times 1 + 3 \times 1 = 3 + 3 = 6 \)

6. Площадь правой боковой стенки: \( 3 \times 1 + 3 \times 1 = 3 + 3 = 6 \)

Общая площадь: \( 15 + 9 + 8 + 8 + 6 + 6 = 52 \)

Проверим ещё раз:

Общая площадь = площадь основания + площадь верхних граней + площадь боковых граней.

Площадь основания = \( 5 \times 3 = 15 \)

Площадь боковой поверхности нижнего параллелепипеда = \( 2(5 \times 1) + 2(3 \times 1) = 10 + 6 = 16 \)

Площадь боковой поверхности верхнего параллелепипеда = \( 2(3 \times 1) + 2(3 \times 1) = 6 + 6 = 12 \)

Площадь верхней грани (ступеньки) = \( (5 \times 3) - (3 \times 3) + (3 \times 3) = 15 - 9 + 9 = 15 \) - это площадь всей верхней поверхности, которая видима.

Общая площадь = \( 15 \text{ (дно)} + 16 \text{ (бок. низ)} + 12 \text{ (бок. верх)} + 15 \text{ (верх)} = 58 \)

Проверим ещё раз, складывая площади всех видимых граней:

• Нижняя плоскость: \( 5 \times 3 = 15 \)
• Передняя плоскость: \( 5 \times 1 + 3 \times 1 = 8 \)
• Задняя плоскость: \( 5 \times 1 + 3 \times 1 = 8 \)
• Левая плоскость: \( 3 \times 1 + 3 \times 1 = 6 \)
• Правая плоскость: \( 3 \times 1 + 3 \times 1 = 6 \)
• Верхняя плоскость: \( 3 \times 3 = 9 \)

Сумма = \( 15 + 8 + 8 + 6 + 6 + 9 = 52 \)

Ошибка в предыдущих расчетах. Давайте пересчитаем, аккуратно.

Размеры нижнего блока: 5, 3, 1.

Размеры верхнего блока: 3, 3, 1.

Площадь поверхности = сумма площадей всех граней, кроме той, которая накрыта.

1. Нижняя грань: \( 5 \times 3 = 15 \)

2. Передняя грань (высота 1): \( 5 \times 1 = 5 \)

3. Задняя грань (высота 1): \( 5 \times 1 = 5 \)

4. Левая грань (ширина 3, высота 1): \( 3 \times 1 = 3 \)

5. Правая грань (ширина 3, высота 1): \( 3 \times 1 = 3 \)

6. Верхняя грань (площадь всей верхней поверхности, выступающей части): \( (5-3) \times 3 + 3 \times 3 = 2 \times 3 + 9 = 6 + 9 = 15 \)

7. Боковые грани верхнего параллелепипеда (где длина 3, ширина 3, высота 1):

• Передняя грань: \( 3 \times 1 = 3 \)
• Задняя грань: \( 3 \times 1 = 3 \)
• Левая грань: \( 3 \times 1 = 3 \)
• Правая грань: \( 3 \times 1 = 3 \)

Суммируем все видимые грани:

\( 15 + 5 + 5 + 3 + 3 + 15 \text{ (верхняя поверхность)} + 3 + 3 + 3 + 3 \text{ (боковые верхнего)} = 15 + 10 + 6 + 15 + 12 = 58 \)

Итак, правильный подсчет:

• Площадь дна: \( 5 \times 3 = 15 \)
• Площадь боковой поверхности нижнего слоя: \( 2 \times (5 \times 1) + 2 \times (3 \times 1) = 10 + 6 = 16 \)
• Площадь боковой поверхности верхнего слоя: \( 2 \times (3 \times 1) + 2 \times (3 \times 1) = 6 + 6 = 12 \)
• Площадь верхней поверхности (ступеньки): \( (5 \times 3) - (3 \times 3) \text{ (площадь перекрытия)} + (3 \times 3) \text{ (верхняя грань верхнего)} = 15 - 9 + 9 = 15 \)

Общая площадь = \( 15 + 16 + 12 + 15 = 58 \)

Ответ: 58