5. Решите уравнение $\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите уравнение $\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль:

\[x+2\ne0,\quad x-2\ne0,\quad x\ne-2,\quad x\ne2.\]

Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$, умножим уравнение на $(x-2)(x+2)$:

\[x(x-2)+(x+2)^2=8.\]

Раскроем скобки:

\[x^2-2x+x^2+4x+4=8,\]

\[2x^2+2x-4=0.\]

Разделим на 2:

\[x^2+x-2=0,\]

\[(x+2)(x-1)=0.\]

Корни: $x=-2$ и $x=1$. Значение $x=-2$ не входит в ОДЗ, поэтому остаётся $x=1$.

Ответ: $x=1$.

5. Решите уравнение \(\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}\).