5. Решите уравнение: (x - 2)² - 2(x + 1)² = (3 - x)(x + 3)

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные члены.

1. Раскроем квадрат разности \( (x - 2)^2 \):

\( (x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \)

2. Раскроем квадрат суммы \( (x + 1)^2 \):

\( (x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1 \)

3. Умножим \( (x + 1)^2 \) на 2:

\( 2(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 4x + 2 \)

4. Раскроем произведение разности и суммы \( (3 - x)(x + 3) \) (это равносильно \( (3 - x)(3 + x) \) ):

\( (3 - x)(x + 3) = 3 \cdot x + 3 \cdot 3 - x \cdot x - x \cdot 3 = 3x + 9 - x^2 - 3x = 9 - x^2 \)

Теперь запишем уравнение с раскрытыми скобками:

\( (x^2 - 4x + 4) - (2x^2 + 4x + 2) = 9 - x^2 \)

Уберём скобки:

\( x^2 - 4x + 4 - 2x^2 - 4x - 2 = 9 - x^2 \)

Приведём подобные члены в левой части:

\( (x^2 - 2x^2) + (-4x - 4x) + (4 - 2) = 9 - x^2 \)

\( -x^2 - 8x + 2 = 9 - x^2 \)

Перенесём все члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую:

\( -x^2 + x^2 - 8x = 9 - 2 \)

\( -8x = 7 \)

Найдем \( x \):

\( x = \frac{7}{-8} \)

\( x = -\frac{7}{8} \)

Ответ: \( x = -\frac{7}{8} \).