5. Решите задачу: В ДАВС проведена биссектриса AL, ∠ALC = 111°, ∠ABC = 91°. Найдите ∠AСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AL \) — биссектриса, \( \angle ALC = 111^{\circ} \), \( \angle ABC = 91^{\circ} \).

Найти: \( \angle ACB \).

Решение:

1. Рассмотрим \( \triangle ALC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Угол \( \angle ALC \) — внешний угол для \( \triangle ABL \).
2. Внешний угол \( \angle ALC \) равен сумме двух не смежных с ним углов \( \angle BAL \) и \( \angle ABC \).
3. \( \angle ALC = \angle BAL + \angle ABC \).
4. Подставим известные значения: \( 111^{\circ} = \angle BAL + 91^{\circ} \).
5. Найдем \( \angle BAL \): \( \angle BAL = 111^{\circ} - 91^{\circ} = 20^{\circ} \).
6. Так как \( AL \) — биссектриса, она делит \( \angle BAC \) пополам. Следовательно, \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \).
7. Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
8. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
9. Подставим известные значения: \( 40^{\circ} + 91^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \).
10. \( 131^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \).
11. Найдем \( \angle ACB \): \( \angle ACB = 180^{\circ} - 131^{\circ} = 49^{\circ} \).

Ответ: \( 49^{\circ} \).